Taylorutveckling exempel Observera dock att det finns exempel på oändligt deriverbara funktioner f(x) vars taylorutveckling konvergerar, men som inte konvergerar mot f(x).Till exempel, för den funktion f(x) som definieras genom f(x) = exp(−1/x²) om x ≠ 0 och f(0) = 0, är alla derivator noll i punkten x=0, så taylorutvecklingn av f(x) är noll, fastän funktionen sannerligen inte är noll annat än för just x=0. 1 taylorutveckling e^x 2 Taylors formel [ redigera] Om vi istället vill approximera i en omgivning av en punkt sätter vi samt och applicerar Maclaurins formel på funktionen g. Vi får då där är en punkt mellan och. Standardutvecklingar [ redigera] Dessa standardutvecklingar visas enkelt med Maclaurins formel ovan. 3 taylorutveckling flervariabel 4 Man kan med f¨ordel anv¨anda Taylorutveckling vid gr¨ansv¨ardesber¨akning. Men ibland ¨ar det bekv¨amt att ist¨allet nytta l’Hospitals regel. Antag att vi vill ber¨akna ett gr¨ansv¨arde av typen lim x→0 f(x) g(x), vilket ¨ar av typen [0 0], dvs b˚ade f(x) → 0 och g(x) → 0 d˚a x → 0. 5 ·· (a = 0) sinx = x− x3 3! + x5 5! − x7 7! +··· (a = 0) cosx = 1−. 6 Published Mar Taylorutveckling Taylorutvecklingar handlar om att approximera funktioner med polynom som är lätta att hantera. Metoden går ut på att hitta ungefär hur en funktion ser ut vid en viss punkt genom att summera ett stort antal derivator till funktionen vid den punkten. Ju mer man deriverar, desto mer exakt blir approximationen!. 7 taylorutveckling ln(1+x) 8 Taylorutveckling. 9 Observera dock att det finns exempel på oändligt deriverbara funktioner f(x) vars taylorutveckling konvergerar, men som inte konvergerar mot f(x). 10 Summering För att se ett exempel, låt oss approximera funktionen: med hjälp av en Taylor-expansion av ordningen två runt punkten. Formeln för runt en punkt är: Vi fortsätter genom att beräkna alla nödvändiga derivator: Slutligen är vår Taylor-uppskattning: Genom att ställa och kan vi ta en titt på hur approximationen ser ut nedan: Taylorutveckling. 11